科研进展 PRL | 非厄米本征值求解的指数量子加速
非厄米（non-Hermitian）物理体系因其存在的PT-对称性破缺、奇异点、拓扑相变等独特现象而备受关注。与此同时，虽然量子计算在厄米本征问题中的应用已被广泛研究，但将其推广至非厄米本征值问题却存在困难。近日，华南师范大学、北京大学和麻省理工大学的联合团队提出了一种求解非厄米本征值问题的通用量子算法框架。在一定假设下可以证明其具备指数级量子加速。相关论文以《Exponential Quantum Advantages for Practical non-Hermitian Eigenproblems》为题发表于物理学顶级杂志《Physical Review Letters》。
问题定义
给定非厄米矩阵$A$，其本征值$\lambda_j$和对应的本征向量满足
$$A|v_j\rangle = \lambda_j|v_j\rangle $$
本工作的目标是对$\lambda_j$进行求解。以线能隙（Line gap）问题为例，目标是给定复平面上的一条线$L$，输出距离$L$最近的本征值。此外，点隙（Point gap）也可用相同的方法定义。
算法框架
定义损失函数 $C(\mu) = \sigma_{\min}(A – \mu I)$。其中 $\sigma_{\min}()$ 表示矩阵的最小奇异值。本工作中量子算法的核心依赖于矩阵的奇异值与本征值之间的如下关系。
\[ C(\mu) = 0 \iff \mu = \lambda_j \] 即 $\mu$ 是矩阵$A$的本征值当且仅当 $A – \mu I$ 的最小奇异值为零。进一步的，当损失函数为有效值时，$\mu$ 与最近的本征值的距离也可以被$C(\mu)$控制。对于约当条件数为$K$的可对角矩阵，满足 \[ C(\mu) \leq \min_j |\mu – \lambda_j| \leq K C(\mu) \] 矩阵的奇异值可以通过量子奇异值变换框架 (Quantum Singular Value Transformation) 求解。因此，剩下的工作就是在复平面上对$\mu$进行搜索。文章采用分治策略，从复平面上参考线附近开始搜索本征值，逐渐收窄目标本征值所在区域。
量子优势讨论
对于$2^n \times 2^n$维的非厄米矩阵，在如下假设条件下，量子算法可以在多项式时间内求解非厄米本征值问题。
- 可编码性：非厄米矩阵的块编码 (block-encoding) 可以高效构造。
- 矩阵稳定性：矩阵的约当条件数为$O(\text{poly}(n))$，且$A$为对角矩阵（或约当块的最大维数为$O(\text{polylog}(n))$）。
- 非平庸初态：给定初态$|\psi_{\text{ini}}\rangle$与目标本征值对应的本征向量$|v\rangle$的重叠满足$\langle\psi_{\text{ini}}|v\rangle = \Omega(\text{poly}(n))$。
文章还证明在满足上述条件的情况下，非厄米本征值问题是$\text{BQP}$-完全的。等价而言，除非任意量子线路可以被经典模拟，量子算法在该问题上存在指数加速。
应用前景
本工作讨论了算法在如下三个场景中的潜在应用。
- 开放量子系统的刘维里隙 (Liouvillian gap)：在一般情况下，刘维里隙决定了开放系统的弛豫时间。它定义为本征值实部非零的最大值，对它的估计等价于以实轴为参考线的线隙问题。
- PT对称性破缺判定：PT对称性破缺是非厄米哈密顿量被广泛研究的性质之一。对于一个PT对称的非厄米哈密顿量，当其本征值为非实数时，其本征态的对称性会破缺。通过本工作提出的量子算法，可以对复杂的多体非厄米哈密顿量的本征值进行估算，根据是否存在非实本征值，可以判定PT对称性是否破缺。
- 马尔可夫链弛豫时间 (relaxation time)：在经典随机过程中，马尔可夫链可由非厄米矩阵表示。其最大本征值绝对值为1，对应系统的稳态。定义第二大本征值绝对值与1的差为$g_{ab} = 1 – \max_{\lambda_j \neq 1} |\lambda_j|$。马尔可夫链的混合时间与$g_{ab}$呈反比。通过与上述量子算法相似的技术，可以对$g_{ab}$进行估算，进而求解弛豫时间。
